原则十八

Ctrl+D 收藏本站

为此，仅仅要求四则演算：加、减、乘、除

①。后两项在此不会经常提到，这既是为了避免不慎造成混乱，也是因为以后完成可能更容易些②。

原则繁多是由于博学鸿儒的无知。可以归结为一个单一的一般准则的各项，要是被分割为若干特殊项，就不那么一目了然了。因此，我们把用于通观问题的，就是说，从某些量推演出其他量的一切演算，仅仅归纳为四则。为什么这就够了，从各该说明中可以得知。

有如下述：如果我们要从各组成部分得知一个唯一量，那就要用加法；如果我要从整体中识别一个部分，以及整体对这一部分的剩余，那就要用减法：以任何其他方式，任一量都不能从以某种方式包含该量的某些其他绝对量中推演出来。但是，如果要从不以任何方式包含某一量的、与该量绝对不同的其他量出发找出该量，那就一定要使该量同它们按照一定比率发生关系：这种对比关系的进行如果必须是直接的③，那就得用乘法；如果是间接的④，就用除法。

为了清楚地陈述后二者，必须知道，我们已经谈过的单位，在此是一切对比关系的基础和根据，它在成连比的量中占第一次⑤，既定各量被包含在第二次中，所求各量在第三次、第四次等等之中，如果比例是直接的；如果比例是间接的，所求量被包含在第二次和中间各次中，既定量在最后次中。

因为，假定我们说，单位之于a（即已知5），正如b（既已知7）之于所求ab（即35），那么，a和b属第二次，其积ab属第三次。同样，假定我们又说，单位之于c（即9），正如ab（即35）之于所求abc（即315），那么，abc属第四次，它产生于属第二次的ab与c两乘，照此类推。同样，单位之于a（5），正如a（5）之于a2（25）；从而单位之于a（5），正如a2（25）之于a3（125）；最后，单位之于a（5），正如a3（125）之于a4（625），等等：乘法之进行无非是：同一量被同一量导引，或者任一量被任一完全不同量导引。

但是，现在假定这样说，单位之于a（即已知除数5），正如所求B（即7）之于ab（即已知被除数35），那么秩序就被扰乱了，［成了］间接的：因此，所求B之得出，只能够用已知a除也是已知的ab。同样，假定我们说，单位之于A（即所求5），正如A（即所求5）之于a2（即已知25）；或者，单位之于A（即所求5），正如A2（即所求25）之于a2（即已知125），如此等等⑥。我们以除法这个名词包括的一切事物，虽然必须注意这类事物⑦的最后一些所包含的困难大于最初一些⑧，因为其中常有因而掩盖着若干比例关系的所求量⑨。因为，上述各例的含义等于是说：求a2（即25）的平方根，或a3（即125）的立方根，如此等等⑩。而这正是计算家流行的说话习惯。不过，要是用几何术语来说，那就等于是说：求所取量⑪（即称为单位的那个量）和a2所示之量之间的那个比例中项，或求单位和a3之间两个比例中项，照此类推。

由此容易得出结论：这两种演算是怎样足以找出按照一定比例关系从某些其他量推演出来的任何量。既然如此，接下去，我们就要陈述必须怎样把这些演算重新交由想象去检验，必须怎样使它们让眼睛看得见，从而使我们最终得以阐述它们的运用或praxis⑫。

如果必须做一次加法或减法，我们可以把对象设想为线，或者设想为只考虑长度的广延：如要加线于线我们就这样相加得如要从较大者减去较小者，即从减去可以这样使两者重合这样就得到较大者盖不住较小者的那一部分，即在乘法中，我们也把量设想为线，但我们想象各线构成一个因为，如果我们乘以我们就这样使一线与另一线接合为直角这就构成矩形再如，我们要乘以就要把ab设想为一条直线，即这样，abc就是最后，在除法中，如除数已知，我们就想象，被除数为一矩形，其一边为除数，另一边为商，例如，矩形被除，我们就把高去掉，剩下的就是商；或者相反，如要用b除，就去掉宽商就是

但是，假如除法中，除数并非已知，只是用某种比例关系表示的，比方说求平方根或立方根等等，那么必须注意，应该把被除数和一切其他项设想为存在于一系列连比之中的线，其中第一道线为单位，最后为被除数。［至于］⑬如何也求得被除数和单位之间任意数量的比例中项，我们将在适当的时候谈到。现在只要指出以下一点就够了：我们假定在这里还没有解决这类演算，因为这是必须运用间接的深思熟虑的想象才能够做到的。现在论述的只是应该直接通观的若干问题。

涉及其他演算时，这种问题固然很容易用我们已经说过应该如何予以设想的方式加以解决，但是，仍然必须说明应该如何准备各个项，因为，即使当我们开始研究某个困难的时候，可以随意设想各项为线或为形，正如原则十四所说，无需归之于其他图形，但是，常有这样的情况：一个矩形，在两直线相乘得出之后，很快就不得不设想为另一直线来进行另一演算；或者，同一形，或由某一加法或减法所得一直线，很快就不得不设想为另一形，即，用作为除数的已知直线构造而成的另一形。

因此，值得在此陈述，任何矩形怎样可以转化为一直线，相反，一直线，甚至一形又是怎样转化为一边已知的另一形。对于几何学家，这是十分容易的，只要他们注意：每逢我们像这里这样把直线同某一形相比时，对所说直线的设想总是形，其一边被我们当作单位的长度。这样一来，整个的事情就归结为这样一种命题了：设有一形，求构造另一形，与它相等，一边为已知。

虽然学几何的儿童也懂得，我还是要阐述一番，以免显得忽略了什么。

注释

①　“四则演算：加、减、乘、除”：参阅《几何学》中所说“组成整个算术的只是四则或五则演算：加、减、乘、除和求根，而求根可以看作除法的一种”。

②　前已知道，存稿只到第二十一条为止，这里所说的“以后完成”只是一句许诺。

③　“直接的”即正比。

④　“间接的”即反比。

⑤　参阅原则十六注⑧。

⑥　“如此等等”，意即“也成了间接的”。

⑦　“这类”hujusspecies；“这类事物”：《几何学》中说到“除法一类的事物”。

⑧　笛卡尔把除法看作倒过来的连比，“最初一些”就是连比各项中的开始几项，“最后一项”就是其中的末尾几项。

⑨　“我们以除法……所求量”，这一整句原文不完整。

⑩　此句正说明笛卡尔把“求根……看作除法的一种”。