大家会记得，我们曾列举对可感世界的实在性提出疑问的若干理由，其中之一就是人们所假定的无限性和连续性的不可能性。由前面对物理学的讨论来看，似乎不存在有利于证明感官对象或物质中无限性或连续性的决定性的经验证据。不过，从科学的观点看，假定无限性和连续性的那种说明较之任何其他的说明仍然是极其容易和自然的，而且由于康托尔已经证明人们所设想的一些矛盾是虚幻的，那就再也没有任何理由去追求对世界的一种有限论的说明了。
人们所设想的连续性的困难，其根源全在这个事实，即一个连续的系列必有无穷多的项，连续性的困难实即关于无限性的困难。因此，解除无限性的矛盾，同时就证明了科学上所假定的连续性的逻辑可能性。
我们可以康德的头两个二律背反为例来说明无限性被用以使人怀疑感官世界的那种方法。在第一个二律背反中，正题是：“世界在时间上有一个开端，在空间上有一个界限。”反题是：“世界在时间上没有开端，在空间上没有界限，无论在时间上和空间上，世界都是无限的。”康德宣称对这两个命题都做了证明，然而，如果我们关于现代逻辑所说的话有任何真理性，那么要证明任何一个命题都是不可能的。无论如何，为了拯救感官世界，摧毁其中一个命题的证明也就足够了。对我们当前的目的来说，使我们感兴趣的是关于世界是有限的那个证明。康德在这个证明中对空间的论证是建立在他对时间的论证之上的。因此我们只需考察他对时间的论证。他的论证如下：
芝诺的第二个论证是关于阿基里斯和龟的，这个论证比别的论证更出名。伯内特把这个论证意译如下：(21)
“阿基里斯永远追不上龟。他必须首先到达龟出发的地点。那时龟将已前进了一段路。于是阿基里斯必须补上这段路，而龟则又向前进了。他将愈来愈接近龟，但是永远追不上它。”(22)
这个论证与前一个论证本质上是一样的。它表明，如果阿基里斯能追上龟，那必是从他起跑之后经过了无穷多的瞬间。这实际上是对的；但是认为无穷多的瞬间构成一个无限长的时间则是不对的，因此不能得出阿基里斯永远追不上龟的结论。
第三个论证，(23)即飞矢的论证，是非常有趣的。对这个论证的原文人们有争论。伯内特接受泽勒的改动，意译成这样：
“飞矢是静止的。因为如果每个事物在占据一个与自身相等的空间时是静止的，而飞行的东西在任何瞬间总是占据一个与自身相等的空间，那么飞矢就不可能移动。”
但是照普朗特尔的意见，亚里士多德陈述这个论证的未经修正的原文直译如下：“如果每个事物在以齐一的方式动作时，或是连续运动着，或是连续处于静止，但运动的东西总是在现在中，那么飞矢就是不动的。”这个形式的论证比伯内特的意译更清楚地显示了它的确切含义。
如果说前两个论证并未假定一个有限的空间部分是由一个有限系列的接连相续的瞬间构成的，那么这个论证则似乎假定了这个观点；无论如何这个论证之好像讲得有道理似乎就依赖于有致密相连的瞬间这个假设。据说，在一个瞬间中，一个运动的物体是在其所在的地方。在这个瞬间中，它不可能运动，因为那就要求这个瞬间还包含部分。例如，假设一个由一千瞬间组成的时段，并假设飞矢穿过这个时段。在这一千瞬间的每个瞬间上，这支矢都是在它所在的地方，虽然在下一瞬间它又在另外的地方了。它是永远不动的，但是在各瞬间之间，就是说，不是在任何时间上，却必以某种不可思议的方式发生位置的变化。这就是柏格森所说的实在的拍电影式的表现。这个困难愈被调解，它就愈真实。解决就在于连续系列的理论。我们看到很难不假定，箭矢在飞行时在下一个瞬间占据下一个位置；但是事实上并没有下一个位置，也没有下一个瞬间，一旦在想象上领悟了这一点，就可看到这个困难消失了。
芝诺的第四个也是最后一个论证是运动场的论证。(24)
伯内特对这个论证的陈述如下：
我认为，这个困难，正如围绕数学无限的大多数更含糊不清的困难一样，来自计数观念的或多或少无意识的作用。如果你着手去计数一个无穷集合的项，你将永远完成不了你的任务。因此，在赛跑者的例子中，如果跑道的一半、3/4、7/8等等都加上标志，而且赛跑者只有在裁判员说了“跑！”才可以通过其中的一个标志，那么芝诺的结论在实际上就会是真的，赛跑者就会永远到达不了目的地。
但是我们能否把一个集合的各个项一一加以检查，这对这个集合的存在乃至关于这个集合的认识和推理并无本质的重要性。在有穷集合的例子中就可以看到这一点；我们可以谈论“人类”，虽然这个集合中的许多个人我们并不亲自认识。我们之所以能这样做，因为我们知道有许多特征是属于这个集合的每个个体所具有的，而不属于这个集合的个体则不具有。无穷集合的情形也正是如此：我们可以根据其特征而知其为无穷集合，尽管这种集合的项是不可举数的。在这个意义上，一个没有终结的系列还是可以构成一个整体，而且在这整个系列之外还可以有新的项。
无穷数的某些纯粹算术的特性也曾引起困惑。例如，一个无穷数加1或加1倍，并不使这个数增加。诸如此类的特性在许多人看来是违反逻辑的，但事实上它们只是违反了人的心理上的一些顽固的积习而已。这个问题上的全部困难是在于必须以一种人们不熟悉的方式去思考，而且要了解我们以为数所固有的许多性质实际是有穷数所特有的。记住这一点，对于下一讲所要讨论的积极的无限性理论，就不会像那些顽固坚持幼时所学算术所灌输的成见的人那样感到困难了。
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(1) 有关早期希腊哲学家的东西，我的知识大多得自伯内特富有价值的著作《早期希腊哲学》（第2版，伦敦，1908年）。我也得到三一学院D·S·罗伯逊先生的大力帮助，他弥补了我的希腊语知识之不足，并使我注意到一些重要的参考文献。
(2) 参见亚里士多德，《形而上学》，M6，1080b，18行以下和1083b，8行以下。
(3) 有某种理由认为毕达哥拉斯学派区别了分离量和连续量。G·J·奥尔曼在《从泰勒斯到欧几里得的希腊几何学》中说（第23页）：“毕达哥拉斯学派把数学分为四部分，其中一部分属于对若干（howmany）的研究，另一部分属于对多少（howmuch）的研究；而且他们又把两个部分各分为二。因为他们说，分离量或若干，或者独立自存，或者必须与某个别的量相联系来考察；但是连续量或多少，则或者是固定的，或者是处于运动中的。因此他们断定说，算术是思考独立自存的分离量，而音乐则是考虑与其他量相联系的分离量；几何学是考察不动的连续量；而天文学则思考具有自动性质的连续量。（《普罗克洛斯》，弗里德莱因编，第35页。关于连续量和分离量的区别，见扬布里库：《杰拉萨的尼科马库斯〈算术引论〉评注》，滕奴里乌斯编，第148页。）”参见第48页。
(4) 伯内特在《早期希腊哲学》第120页上曾引用这一段话。
(5) 《物理学》，iv．6.213b，22;H·里特和L·普雷勒：《希腊哲学史》，第8版，哥达，1898年，第75页（此书下引均简作“R．P．”）。
(6) 毕达哥拉斯的证明大致如下。假如可能，设斜边和夹边之比为m/n，m和n是没有共同因子的整数。因此必然mk=2nk。一个奇数的平方是奇数，但是mk既然等于2nk，却是偶数。因此m必是偶数。但是一个偶数的平方可除以4，而nk是mk之半，因此必是偶数。因此n必是偶数。但是既然m是偶数，而且m和n没有共同因子，n必是奇数。因此n必既是奇数又是偶数，而这是不可能的；因此斜边和夹边之比不可能是一个有理数。
(7) 关于芝诺和毕达哥拉斯学派，我从P·E·B·茹尔丹先生处得到很多有价值的知识和批评。
(8) 因此柏拉图在《巴门尼德篇》中让芝诺发言赞成巴门尼德的全部哲学；一切内外证据都证明了这个观点。
(9) 黑格尔说：“真正的哲学是从巴门尼德开始的。”载《黑格尔全集》，1840年，第8卷，第274页。
(10) 米约反对这个解释（《希腊的哲学家—几何学家》，第140页注），但是他提出的理由似乎不令人信服。下面的各种解释都有可置疑之处，但都有著名权威的支持。
(11) 《物理学》，vi．9.2396（R．P．136—139）。
(12) 参见G·米约：《希腊的哲学家—几何学家》，第140页注；P·汤纳里：《论希腊科学史》，第249页；伯内特：《早期希腊哲学》，第362页。
(13) 参见R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Zix.”，载《语言学杂志》，第31卷，尤其是第111页。亦请参阅M·康托尔：《数学史讲演录》，第1版，第1卷，1880年，第168页，不过他后来在该书第3版（第1卷，第200页）中接受了汤纳里的看法。
(14) “运动和不可分的东西的主张者”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第382—395页。
(15) “运动和埃利亚的芝诺的论证”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第107—125页。
(16) 参见M·布罗沙尔：“埃利亚的芝诺的臆造的诡辩”，载《形而上学和道德评论》，第1卷，第209—215页。
(17) 辛普里齐乌斯：《物理学》，140，28D（R.P．133）；伯内特：《早期希腊哲学》，第364—365页。
(18) 《早期希腊哲学》，第367页。
(19) 亚里士多德说的是：“第一个论证是关于运动不存在的论证，理由是运动的东西到达中点必永远比到达终点更快，关于这个问题在前面已经谈过我们的看法。”《物理学》，第6卷，9.939B（R．P．136）。亚里士多德似乎是指《物理学》，第6卷，2.223AB［R．P．136A］：“一切空间都是连续的，因为时间和空间被分成同样相等的部分。……因此芝诺的下面这个论证也是错误的，他说在有限时间内不可能通过一个无穷集合，或者说不可能一个一个地接触到一个无穷集合。‘无限的’一词被应用于长度和时间，而且事实上无论就可分性还是就终点而言被应用于一切连续的事物，都有两个涵义。在有限时间内接触到数目无限的事物是不可能的，但是接触到无限可分的事物却是可能的，因为时间本身在这个意义上也是无限的。所以实际上我们是在一个无限的［时间］、而不是在一个有限的［时间］内走过一个无限的［空间］，我们是以无限的事物而不是以有限的事物接触无限的事物。”6世纪的注释家菲洛彭奴斯作了如下的解释：“一个事物如果在一小时内通过一腕尺的空间，既然在每一空间上都有无穷多的点，这个运动的事物就必须接触空间的一切点；因此它要在有限时间内通过一个无穷的集合，而这是不可能的。”（R．P．136A，摘自菲洛彭奴斯的《亚里士多德〈物理学〉评注》，803，2。）
(20) 参见C·D·布罗德先生：“略论阿基里斯与龟”，载《心》，第22卷，第318—319页。
(21) 《早期希腊哲学》，第367页。
(22) 亚里士多德说的是：“第二个论证是所谓阿基里斯论证。这个论证是说，跑得最快者永远追不上跑得较慢者，因为追赶者永远必须首先达到被追赶者刚刚离开的地点，因此跑得较慢者必永远或多或少还在前面。”《物理学》，第6卷，9.239B（R．P．137）。
(23) 亚里士多德：《物理学》，第6卷，9.239B（R.P．138）。
(24) 亚里士多德：《物理学》，第6卷，9.239B（R.P．139）。
(25) R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Zix．”，载《语言学杂志》，第31卷。
(26) R·K·盖伊：“论亚里士多德《物理学》，Zix．”，载《语言学杂志》，第31卷，第105页。
