《算经十书》是中国汉唐数学书籍的总集。千余年来,其构成稍有变化。先是,唐初李淳风(602-670)与算学博士梁述、助教王真儒等奉敕编算并注释《算经十书》,包括汉《周髀算经》(赵爽、甄鸾注)、《九章算术》(魏刘徽注)、魏刘徽《海岛算经》、南北朝《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、祖冲之《缀术》、甄鸾《五曹算经》、《五经算术》、唐王孝通《缉古算经》,是为中国筹算数学奠基时期的总结。显庆元年(656)完成,颁行国子监算学馆作为教材,并作为明算科的考试科目。北宋元丰七年(1084)秘书省刊刻十书,是为世界上首次出版数学著作。时《缀术》已佚,付之阙如:《夏侯阳算经》亦不存,因唐中叶韩延《算术》开首有“夏侯阳曰”,被误为《夏侯阳算经》刻入。经北宋末战乱,这些印本散失严重,南宋数学家、天文学家鲍澣之陆续收集到北宋秘书省刻本,并于嘉定六年(1213)在汀州任内翻刻。鲍氏又从杭州七宝山宁寿观藏《道藏》中录得《数术记遗》1卷,另有《算学源流》1卷,一并刊刻。明代古典数学衰替,宋版算经散佚殆尽。鲍刻《算经十书》,现仅存《周髀算经》、《九章算经》(上半部)、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》及《数术记遗》(附《算学源流》),分别藏于上海图书馆、北京大学图书馆。1980年,文物出版社影印成《宋刻算经六种》。清初常熟汲古阁主人毛扆访求得鲍刻本《周髀算经》、《九章算经》(上半部)、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《缉古算经》、《夏侯阳算经》,影钞成汲古阁本,这些钞本后转入清宫,今藏台北故宫博物院。1932年,北平故宫博物院曾影印,收入《天禄琳琅丛书》。明修《永乐大典》,汉、唐、宋、元算经被分类抄入算字条各卷。清乾隆中弘历下诏编纂《四库全书》,戴震从《永乐大典》中辑录出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》,加以校勘整理,收入《武英殿聚珍版丛书》。又收集到汲古阁本《张丘建算经》、《缉古算经》及明刊《数术记遗》,与上7种一并收入《四库全书》子部天文算法类,后,戴震又对此10种算书重加校勘,由孔继涵刊刻,即微波榭《算经十书》(附刻戴震《策算》)。此后200年间诸版汉唐算经,皆是戴震校本的翻刻本、排印本或以戴震校本为底本的重校本。1963年,中华书局出版钱宝琮校点《算经十书》,以曾经立于唐初学官的《周髀算经》3卷、《九章算术》9卷、《海岛算经》1卷、《孙子算经》3卷、《张丘建算经》3卷、《五曹算经》5卷、《五经算术》2卷、《缉古算经》1卷为正文,而以算学馆兼习的《数术记遗》1卷、赝本《夏侯阳算经》3卷为附录,凡31卷,是为目前最佳校勘本。
《周髀算经》是一部以数学方法阐明述盖天说的天文学著作,成书于公元前1世纪。李淳风以为是极可宝贵的数学遗产,遂收入《算经十书》。《九章算术》是《算经十书》中最为重要的一部著作,它集先秦以来数学知识之大成,其算法统率应用问题的形式确立了此后中国数学著作的基本形态;它将数学分成方田、粟米、私分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股9类,确立了中国古代数学的基本框架,而提出的分数四则运算、比例及比例分配算法、盈不足算法、各种面积和体积公式、解勾股形方法、开平方开立方程序、方程术即线性方程组解法以及正负数加减法则,都在世界上占有重要的或领先的地位。它的成书标志着世界数学重心已从古希腊转移到中国,并对此后中国数学居世界领先地位千余年起了重大作用。刘徽《海岛算经》(263)提出重差术,解决了许多复杂的测望问题,把中国的勾股测望理论提高到一个新的阶段。据考证,《孙子算经》成书于公元400年前后,是一种比《九章算术》初等的数学入门书。它首次记载了算筹记数法及筹算乘除法法则。民间广泛流传的“河上荡杯”、“鸡兔同笼”、“物不知数”等题目最先出自此书。“物不知数”实际上是一个一次同余式组问题,开中国古代数学一个新分支之先河。《张丘建算经》成书于北魏466—485年之间(据钱宝琮考证)。其总的水平略高于《孙子算经》而低于《九章算术》,不过仍提供了很多推陈出新的意见,主要有:提出了最小公倍数的求法,求等差级数之和、公差、项数等的公式,不用盈不足术而直接解决算术难题,提出了著名的百鸡问题等等。《缀术》又作《缀述》,作者有的记为祖冲之,有的记为祖暅之,也有的学者认为这是两部著作。《隋书·律历志》说它“学官莫能究其深奥,是故废而不理”,可见其数学水平在《九章算术》和刘徽之上。祖冲之将圆周率精确到8位有效数字及祖暅之解决球体积的成就,当是其一部分内容。它的失传是中国古代数学的重大损失。《五曹算经》,传本无撰著姓名,钱宝琮考证为北周甄鸾撰,是为负责田、兵、集、仓、金五曹的行政人员写的应用算术书,内容浅近,几无可观,但个别问题使十进小数的概念有新的发展。《五经算术》亦为甄鸾撰,取《尚书》、《诗经》、《周易》、《周礼》、《礼记》、《论语》等经籍中需要数学知识或计算技能的地方加的注释,数学上无什么创新。《缉古算经》按王孝通本意,可以看成《九章算术》的续编,解决了若干复杂的土方工程及勾股问题,都需用三次或四次方程解决,是《缀术》失传后中国最早记载这类方程的著作,其四次方程皆无奇次幂,可用两次开平方解决。传本《数术记遗》题东汉徐岳撰。戴震修《四库全书》时认为为好事者所作“而嫁名于岳耳”。钱宝琮考证为甄鸾自撰自注。书中讨论了大数进法,并记述了14种记数方法,其中积算即筹算,珠算尽管不同于元明之后的珠算,却可视为现代珠算的滥觞。《夏侯阳算经》成书于《张丘建算经》之前,原书已佚,现所存者仅其赝本引“夏侯阳曰”约600余字,叙述了算筹记数法、分数法则、乘除法则及名词解释。钱宝琮考证,赝本《夏侯阳算经》为唐中叶韩延《算术》,成书于770年前后,它开乘除捷算法之先河,提出了许多化乘除为加减,化多位乘除法为一位乘除法的例题,对十进小数的使用与发展也有重大贡献。
为经典数学著作作注,是中国古代数学著作的另一重要形式。《算经十书》的各种注分别与各部著作一体行世,有《周髀算经》赵爽注、甄鸾注、李淳风等注释,《九章算术》刘徽注、李淳风等注释,《海岛算经》李淳风等注释,《张丘建算经》刘孝孙细草、李淳风等注释,等等。其中最著名的是刘徽《九章算术注》,它全面证明了《九章算术》的公式、解法,批评了其中的错误及不精确处,引入了极限方法,发展了出入相补原理、截面积原理,补充了若干新的公式、解法,建立了中国古代数学的理论体系。此外赵爽《周髀算经注》“勾股圆方图”以600余字概括了《九章算术》到三国我国勾股算术的内容。
